アルキメデスコピュラの名前の由来（続）

大学図書館に行って前述の本にあたってみた。

Among the most important results in PM spaces - for the statisticians - is the class of Archimedian t-norms, that t-norms $T$ that satisfy [tex:T(u,u)Archimedean copulas.
Nelsen, R. B. (2006). An Introduction to Copulas, 2nd ed., Springer-
Verlag, New York.
1. Introduction

まず、アルキメデスコピュラはPM(probabilistic matric) spaceの分野からきている。確率分布の空間の中に距離を入れて研究したいという人たち。
でもなんでその式でアルキメデスなのかよくわからない。

ちなみにt-normというのは以下の通りで、一般の意味での距離に近いような、そうでないような。

t-norm (triangular norm) - A function T : [0,1] × [0,1] → [0,1] that satisfies

$T(a,b) = T(b,a)$

$T(a,b) \leq T(c,d)$ whenever $a \leq c, b \leq d$

$T(a,1) = a$ for all a in [0,1]

$T(T(a,b),c) = T(a,T(b,c))$ for all a, b, c in [0,1]

Schweizer, B. and Sklar, A. (1983). Probabilistic Metric Spaces, North-
Holland, New York [Reprint (2005), Dover Publications].　より要約。

Nelsenの方の本をめくってみるとわかった。（4.3節より）

By now the reader is surely wondering about the meaning of the term "Archimedean" for these copulas. Recall the Archimedean axiom for the positive real numbers: If a, b are positive real numbers, then there exists an integer n such that $na>b$ .

どうもアルキメデスの公理と関係しているようだ。
正実数a,bについて、aをとある自然数倍すればbより大きくできる。という話。

An Archimedean copulas behaves like a binary operation on interval I, in that the copula $C$ assigns to each pair u, v in I a number $C(u, v)$ . From Theorem 4.1.5, we see that the "operation" $C$ is commutative and associative, and preserves order as a consequence of (2.2.5), i.e., $u_1 \leq u_2$ and $v_1 \leq v_2$ implies $C(u_1, v_1) \leq C(u_2, v_2)$ (algebraist call $(I,C)$ an ordered Abelian semi-group).

アルキメデスコピュラは[0,1]区間の2項演算とも見れる。しかも性質が足し算に似ていて、順序を保つ（順序付き可換半群）。
証明に興味のある人は引用元の本を参照してください。
ちなみに（2.2.5）というのはFrechet-Hoeffdingの限界と呼ばれる不等式。

For any u in I we can define the $C$ -powers $u^n_C$ of u recursively: $u^1_C =u$ , and $u^{n+1}_C = C(u,u^n_C)$ [note that $u^2_C$ belongs to the diagonal section $\delta_C(u)$ of $C$ ].